초등학교 3학년 나눗셈 이것 만은 꼭 짚고 넘어가야 합니다.

 

사칙연산 중 아이들이 가장 어려워하는 것이 바로 나눗셈입니다. 초등학교 3학년에 나눗셈이 처음 나오는데요 어떻게 접근하면 조금 더 아이들에게 나눗셈에 대해 재미있고 쉽게 알려줄 수 있을지 고민해 보았습니다. 나눗셈의 개념이 제대로 머릿속에 없으면 5,6학년에 배울 분수, 소수, 비율을 제대로 알 수가 없습니다. 실제로 나눗셈이 흔들리면 수학을 포기하는 아이들이 생기는 것입니다. 기계적으로 연산을 반복시키고 무조건 외워서 하지말고 차근차근 유래와 의미, 원리를 제대로 알아야 합니다.

 

 

나눗셈의 유래

나눗셈의 기원은 이집트, 바빌로니아, 그리스와 같은 고대 문명으로 거슬러 올라갑니다. 이집트인들은 주로 토지 측정과 무역에서 상품을 나누기 위한 실용적인 목적으로 나눗셈을 사용했습니다. 이집트인들은 상품이나 토지의 공정한 분배를 결정하기 위해 덧셈과 뺄셈을 반복하는 'The method of false position(거짓 위치의 방법)'이라는 방법을 사용했습니다. 미지의 양을 구하기 위해서 들어갈 만한 값을 가장한 다음 추정값 고 실제값과 같아질 때까지 가장값을 조정해 나가는 과정입니다. 일종의 오늘날의 1차 방정식을 푸는 과정이라고 볼 수 있습니다.

 

포함제 나눗셈

가장 초기의 나눗셈 방법 중 하나는 반복 뺄셈으로, 결과가 0이 되거나 나머지가 얻어질 때까지 나눗셈에서 제수를 빼는 것입니다. 예를 들어 반복 뺄셈을 사용하여 12를 3으로 나누려면 12에서 3을 네 번 빼서 몫 4를 구합니다. 이 방법은 간단하고 이해하기 쉽지만 큰 숫자의 경우 시간이 오래 걸릴 수 있으며 항상 정확한 결과를 얻지 못할 수도 있습니다.

 

고대 이집트인의 나눗셈

또 다른 고대의 나눗셈 방법은 바빌로니아인과 이집트인이 사용했던 나누기 방법입니다. 제수를 배로 늘려가면서 피제수를 넘지 않을 때까지 구합니다. 예를 들어 68÷7의 답을 구해보면, 제수 7에 8배를 하면 56이 됩니다. 

제수	배
7	1
14	2
28	4
56	8

피제수 68에서 56을 빼면 68-56=12로 12가 되고 12안에는 7이 한 번 더 들어가므로 몫은 8+1=9가 되고 12-7=5로 나머지는 5가 됩니다.

 

나눗셈의 발전

수학과 철학에 기여한 것으로 유명한 고대 그리스인들도 나눗셈 연구 분야에서 상당한 발전을 이루었습니다. 기원전 300년경에 살았던 그리스 수학자 유클리드는 "원소"라는 책을 썼는데, 이 책에는 비율을 이용한 나눗셈에 대한 체계적인 접근 방식이 포함되어 있습니다. 그리스인들은 또한 분수로 표현할 수 없는 무리수의 개념을 발견하여 나눗셈의 개념을 더욱 발전시켰습니다.

 

시간이 지나면서 나눗셈은 과학, 공학, 금융, 통계 등 여러 분야에서 사용되는 필수적인 수학적 연산이 되었습니다. 이후 나눗셈은 다항식 긴 나눗셈과 합성 나눗셈과 같은 고급 개념은 물론 컴퓨터 알고리즘과 데이터 분석과 같은 실용적인 응용 분야까지 포함하도록 발전했습니다.

 

 

초등학교 나눗셈 커리큘럼

초등시절 나눗셈은 세 번에 나누어 배웁니다. 

1. 3학년 1학기 4월 : 나눗셈의 개념
2. 3학년 2학기 9월 : (몇십몇)÷(몇)
3. 4학년 1학기 3월 : (세 자릿수)÷(몇십),  (세 자릿수)÷(두 자릿수)

이번 글에서는 3학년에서 꼭 알아야 하는 나눗셈 개념과 (몇십몇)÷(몇)에 대해서 알아보겠습니다.

 

3학년 1학기 나눗셈 : 나눗셈의 의미와 곱셈과 나눗셈의 관계

• 등분제와 포함제
• 곱셈과 나눗셈의 관계
• 곱셈식에서 나눗셈의 몫 알기
• 구구단으로 나눗셈의 몫 구하기

나눗셈을 처음 배우는 3학년 1학기에 무조건 곱셈과 나눗셈의 관계부터 들이밀지 않습니다. 반드시 나눗셈의 의미를 제대로 곱씹고 넘어가야 합니다.

 

다음의 두 가지 문제를 생각해 봅시다.

1. 사과 12개를 4명이 똑같이 나눠 먹으면 1명당 몇 개의 사과를 먹을 수 있나요?

2. 사과 12개를 한 명에 3개씩 나누어 줄 때 몇 명에게 사과를 나누어 줄 수 있나요?

 

등분제

등분제는 전체를 정해진 대상이 똑같이 나눠 갖는 것입니다. 위의 문제 중 첫 번째 문제입니다. 전체를 똑같이 나누었을 때, 한 부분의 크기가 얼마인지 묻는 문제에 등분제의 개념이 담겨 있습니다. 이 문제의 답은 한 명이 나눠 갖는 대상의 수를 나타냅니다. 즉 3+3+3+3=12 12개 사과를 4명이 나누어 가지면 3개씩 먹을 수 있습니다.

 

포함제

포함제는 전체를 일정한 크기로 나누면 몇으로 나눌 수 있는지를 묻습니다. 두 번째 문제에 해당합니다. 나누어 줄 개수가 정해져 있는 상태에서 몇 개의 대상에게 나누어 줄 수 있는가를 묻는 것으로 몫은 나눠줄 대상의 수가 됩니다. 12개의 사과를 3개씩 나누어 주면 12-3-3-3-3=0 3개씩 4명에게 나누어 줄 수 있으므로 몫은 4가 됩니다.

 

등분제는 나눠 갖는 대상이 정해져 있고 포함제는 나눠 줄 개수가 정해져 있습니다. 등분제는 덧셈의 개념으로 표현되고 포함제는 빼기의 개념으로 표현됩니다. 구체적인 물건을 가지고 이 개념에 대해서 아이와 충분히 음미해 보면서 정확하게 개념이 확립되도록 해야 합니다.

 

곱셈과 나눗셈

곱셈과 나눗셈의 관계는 나눗셈의 의미를 공부하다 보면 자연스럽게 깨닫게 됩니다. 곱셈과 나눗셈은 역역산의 관계입니다. 이 역역산 관계를 구체물 조작을 통해서 확인하는 것이 좋습니다. 연결큐브를 활용해 봅니다.

 

곱셈 : 연결큐브를 4개씩 3번 더해 봅니다. 4+4+4=4 ×3=12로 4개 큐브 3줄로 총 12개가 됩니다.

나눗셈 : 아까 만든 4개씩 3줄의 12개 큐브에서 4씩 빼봅니다. 12-4-4-4=0 3번 뺄 수 있습니다. 이를 나눗셈 식으로 써보면 12÷4=3과 같습니다.

 

곱셈은 같은 수를 거듭 더해서 어떤 수가 만들어지는 것이고, 나눗셈은 어떤 수에서 같은 수를 거듭  빼서 0이 됩니다. 즉, 곱셈은 전체의 크기를 구하는 것이고, 나눗셈은 전체를 똑같이 나누면 몇 묶음인지 구하는 것입니다.

 

 

3학년 2학기 나눗셈 : (몇십몇)÷(몇), 나머지, 내림

3학년 2학기에는 (몇십몇)÷(몇)에 대해서 나머지가 있는 나눗셈과 나머지가 없는 나눗셈을 배웁니다. 나머지의 의미와 내림 계산법 그리고 검산하는 방법까지 꼼꼼히 하고 넘어가야 합니다. 

 

나눗셈을 잘하기 위해서는 다음의 세 가지를 명심해야 합니다.

1. 구구단 완벽하게 암기
2. 자릿수를 헷갈리지 않기
3. 포함제로 생각하면 쉽다. 나누어지는 수 안에 나눌 수가 몇 번 들어가는지 생각한다.

 

나머지가 없는 (몇십몇)÷(몇)

나누기는 나머지 사칙연산과는 다르게 앞자리부터 계산합니다. 예를 들어 84÷4를 하려면,

1. 십의자리 8부터 생각합니다. 8안에 4가 2번 들어가므로(8-4-4=0) 십의자리의 몫은 2가 됩니다.(의미 : 20)
2. 일의 자리 4안에는 4가 1번 들어가므로(4-4=0) 일의 자리의 몫은 1입니다.
3. 답은 21이 됩니다. 이와같이 나머지가 없는 경우를 나누어 떨어진다라고 합니다.

 

나머지가 있는 (몇십몇)÷(몇)

상기와 방법은 똑같지만 거듭 빼고도 남는 수가 생기는 경우입니다. 예를 들어 86÷4를 하려면,

1. 십의자리 8안에 4가 2번 들어가므로(8-4-4=0) 십의자리의 몫은 2가 됩니다. 
2. 일의 자리 6안에는 4가 1번 들어가고 2가 남습니다.(6-4=2) 일의 자리의 몫은 1이고 나머지는 2입니다.
3. 몫은 21, 나머지는 2가 됩니다.

 

내림하기

내림하기를 연습해 보겠습니다. 예를 들어 64÷4를 계산해봅니다.

1. 십의자리 6안에 4가 1번 들어가고 2가 남습니다.(6-4=2) 십의자리의 몫은 1이 됩니다.
2. 십의자리에서 남은 2(20)와 일의 자리 4를 더하면 24가 되고 24안에는  4가 6번 들어갑니다.(24-4-4-4-4-4-4=0) 일의 자리의 몫은 6입니다. 
3. 정답은 16입니다.

내림하기에서 중요한 것이 자릿수입니다. 10의 자리에서 남은 값은 몇십이 된다는 것을 잊어서는 안 됩니다.

 

검산하기

검산하기는 제대로 몫과 나머지를 구했는지 확인하는 과정입니다. 86÷4=몫 21, 나머지 2를 예로 들어 보겠습니다.

1. 나누는 수과 몫을 곱합니다. 4 ×21=84
2. 1단계에서 나온 값에 나머지를 더합니다. 84+2=86
3. 2단계에서 계산한 값이 나누어지는 수와 같은지 확인합니다. 같다면 제대로 계산한 것입니다.

 

여기까지가 3학년에 반드시 알아야 하는 나눗셈의 개념과 의미 계산법입니다. 제대로 공부하고 있는지 다 배우고 머릿속에 개념이 잘 형성되어 있는지 반드시 확인하고 넘어가길 권합니다.